[retour]

Résumé : Nous développons la théorie constructive des anneaux de Prüfer et de Dedekind. Les résultats de base de cette théorie sont reformulés de manière entièrement algorithmique. Les preuves que nous obtenons sont souvent plus simples et plus générales que celles que l'on trouve dans la littérature classique. Pour réaliser ces objectifs, de nombreuses définitions classiques doivent être reformulées de façon constructive.
Nous ne faisons en général pas d'hypothèse d'intégrité, d'où l'importance accordée aux anneaux arithmétiques, aux anneaux de Prüfer (anneaux arithmétiques réduits) et anneaux de Prüfer cohérents (souvent appelés anneaux semi-héréditaires). Nous nous situons dans un cadre, naturel pour les applications concrètes, où l'on ne prétend pas disposer d'un algorithme de factorisation complète pour les idéaux inversibles d'un anneau de Dedekind.
La factorisation complète d'un idéal inversible (qui n'existe pas toujours d'un point de vue constructif) est remplacée par l'existence de bases de factorisation partielles pour les familles finies d'idéaux inversibles.
De nombreux résultats sont en outre démontrés dans le cadre moins restrictif des anneaux de Prüfer cohérents ou dans celui des anneaux de Prüfer cohérents de dimension 1.

Remarque bibliographique : Dans l'article le théorème 5.2 n'est qu'un cas particulier du "quasi-factorisation theorem" que l'on trouve dans le livre "A course in constructive algebra" de Mines, Richman, Ruitenburg (th. 4.1.8 page 111). Les rédacteurs de l'article s'excusent pour avoir oublié cette citation.

Abstract : We give a basic constructive theory for Prüfer rings and Dedekind rings. All results are given in a direct algorithmic way. Our proofs are often more simple and more general than the ones we found in classical literature. Many definitions have to be reformulated in an equivalent but constructive way.
We don't assume in general to deal with domains, whence the importance given to arithmetical rings, Prüfer rings (arithmetical reduced rings) and Prüfer coherent rings (semi-hereditary rings). Our general setting for Dedekind rings does not include complete factorisation of invertible ideals. We prefer to use partial factorisation bases for finite families of invertible ideals, since they always do exist constructively.
Moreover many important results are obtained in the weaker setting of Prüfer coherent rings or of dimension one Prüfer coherent rings.

Remark : Theorem 5.2 in the paper is only a particular case of the more general "quasi-factorisation theorem" in the book "A course in constructive algebra" by Mines, Richman, Ruitenburg (th. 4.1.8 page 111). The authors apologize for not mentionning this fact.

• Dans la preuve du lemme 3.15 page 631 il faut signaler que l'idéal   J   est engendré par les   x_i
  
  
• page 638, la remarque (2) après le lemme 4.9 ne tient pas la route: puisqu'on a supposé que l'anneau est à divisibilité explicite, le groupe des unités est détachable, et puisqu'on considère un anneau local, cela implique que son radical de Jacobson est détachable.
  
  
• page 641, la fin de la preuve du théorème 5.2 invoque le théorème 4.12 qui suppose que l'anneau est de dimension inférieure ou égale à 1. Cela ressemble à un cercle vicieux mais cela n'en est pas vraiment un.
  En effet d'une part le début de la preuve du théorème 5.2 montre qu'une famille de 2 idéaux de type fini admet une factorisation partielle. Et d'autre part dans la preuve du théorème 4.10, on utilise la factorisation partielle de deux idéaux principaux pour en déduire que l'anneau est de dimension 1.
  De tout façon, la preuve du théorème 5.12 peut être avantageusement remplacée par celle, plus élégante, du "quasi-factorisation theorem" que l'on trouve dans le livre "A course in constructive algebra" de Mines, Richman, Ruitenburg (th. 4.1.8 page 111).
  
  
• Dans la preuve du théorème 6.8 on indique que   phi(B)   est entier sur   phi(A)  et donc aussi sur  psi(A'). Or  phi(B)  contient  phi(A ) mais on ne voit pas bien pourquoi  phi(B)  contiendrait aussi   psi(A').
  Voici une explication plus précise et vraiment correcte.
  On a une situation du type suivant dans laquelle les flèches verticales sont des flèches de localisation en   S  et  phi(S').
  En outre   S' intersection A = S.
  
                psi
     A'     ------->     B'
      ^                      ^
      |                        |
     A --> B ---> phi(B)
                 phi
  
  Remarque :  phi(B)   est un quotient de  B 
       phi(A)  est un quotient de  A 
       ni  phi  ni  psi  ne sont en général injectives
  
  phi(B)  est entier sur  phi(A).
  phi(A)  est contenu dans   psi(A')= V^-1 phi(A)  (avec   V = phi(S)  contenu dans  phi(S')))
  puisque   B  est entier sur  A,    V^-1 phi(B)   est entier sur   V^-1 phi(A)
  et   B'  est un localisé de  V^-1 phi(B) 
  Si   A'  est de dimension  <= d - 1  alors  psi(A')  aussi puisque c'est un quotient de  A'. Par hypothèse de récurrence,  V^-1 phi(B)  est donc de dimension  <= d - 1.
  Et par suite  B'  également.
  
  
• à suivre