Décryptage constructif des preuves classiques, un cas d’école : le théorème d’Artin en théorie de Galois

H. Lombardi(^{1}), C. Quitté(^{2})

9 mai 2005

Résumé Nous traitons un cas d’école pour le décryptage constructif des preuves classiques qui

utilisent le principe du tiers exclu et l’axiome du choix.

Introduction

Dans cette note nous examinons le théorème d’Artin en théorie de Galois et sa version anneaux commutatifs . Nous montrons comment décrypter certaines preuves classiques usuelles (qui utilisent le principe du tiers exclu et l’axiome du choix) en des preuves constructives.

Nous nous inspirons à la fois de [3] et [4].

Il s’agit ici d’un cas d’école pour le décryptage des preuves classiques, dans la mesure où une preuve constructive élémentaire du théorème le plus fort peut être obtenue de façon beaucoup plus directe (voir section 3).

1 Le lemme de Dedekind et le théorème d’Artin

On prendra les notations suivantes.

Notations 1 (L, +, −, ., 0, 1) est un corps, (M, ., 1) un monoïde, σ_{i}, i = 1 …, n sont des homomorphismes du monoïde M dans le monoïde multiplicatif du corps. Des éléments x^{ij}, 1 ≤ i < j ≤ n témoignent du fait que les homomorphismes sont deux à deux distincts : on pose s_{ij} = σ_{i}(x^{ij})−σ_{j}(x^{ij}) et on a s_{ij} ≠ 0 pour tous i < j. Dans le cas où M = L et où les σ_{i} forment un groupe fini G d’automorphismes de L on note K le sous-corps de L fixé par G : K = {x ∈ L ; σ(x) = x, ∀σ ∈ G}.

Rappelons tout d’abord la théorie et la preuve usuelles. Proposition 2 (Lemme de Dedekind-Artin) Avec les notations 1 :

1. Les homomorphismes σ_{i} sont L-linéairement indépendants

2. Plus précisément, il existe n éléments y^{1}, …, y^{n} de M tels que la matrice (σ_{i}(y^{j}))_{1≤i,j≤n} soit inversible.

Preuve On prouve le point 1 par induction, sous la forme suivante

∀α_{1}, …, α_{n} ∈ L, ∑_{i=1}^{n} α_{i} σ_{i} = 0 ⟹ α_{1} = ⋯ = α_{n} = 0.

Pour n = 1, si α_{1} σ_{1} = 0 alors α_{1} = α_{1} σ_{1}(1) = 0. Supposons l’assertion vraie pour n − 1 et montrons là pour n. Soit une relation de dépendance linéaire

∑_{i=1}^{n} α_{i} σ_{i} = 0  (1)

1 Equipe de Mathématiques, UMR CNRS 6623, UFR des Sciences et Techniques, Université de Franche-Comté, 25030 Besançon cedex, France, email : lombardi@math.univ-fcomte.fr

2 Laboratoire de Mathématiques, SP2MI, Boulevard 3, Teleport 2, BP 179, 86960 Futuroscope Cedex, France, email :

quitte@mathlabo.univ-poitiers.fr

Soit x ∈ L tel que σ_{1}(x) ≠ σ_{n}(x). On a alors pour tout z ∈ L,

∑_{i=1}^{n} α_{i} σ_{i}(xz) = ∑_{i=1}^{n} α_{i} σ_{i}(x) σ_{i}(z) = 0

ce qui donne

∑_{i=1}^{n} α_{i} σ_{i}(x) σ_{i} = 0  (2)

Par combinaison linéaire des égalités 1 et 2 on obtient

∑_{i=1}^{n−1} α_{i} (σ_{n}(x) − σ_{i}(x)) σ_{i} = 0  (3)

Par hypothèse de récurrence cela donne α_{i} (σ_{n}(x) − σ_{i}(x)) = 0 pour i = 1, …, n − 1. En particulier, puisque σ_{1}(x) ≠ σ_{n}(x), α_{1} = 0. Donc ∑_{i=2}^{n} α_{i} σ_{i} = 0 et par hypothèse de récurrence α_{2} = ⋯ = α_{n} = 0. Passons au point 2. Pour n = 1 on choisit 1 ∈ M, on a bien Δ_{1} = | σ_{1}(1) | = 1 ≠ 0. Pour n = 2, si σ_{1}(x) = x_{1} ≠ σ_{2}(x) = x_{2}

on choisit 1, x et on a bien Δ_{2} = | \begin{matrix}1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{matrix} | ≠ 0. Supposons maintenant avoir trouvé n − 1 éléments

1, x, …, u avec

Δ_{n−1} = | \begin{matrix}1 & x_{1} & ⋯ & u_{1} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & x_{n−1} & ⋯ & u_{n−1} \end{matrix} | ≠ 0

(on a posé x_{i} = σ_{i}(x), …, u_{i} = σ_{i}(u)). En un point t arbitraire de M, si on évalue le déterminant

| \begin{matrix}1 & x_{1} & ⋯ & u_{1} & σ_{1}(t) \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & ⋯ & u_{n} & σ_{n}(t) \end{matrix} |

en développant selon la dernière colonne, on trouve δ_{n,1}σ_{1}(t) + ⋯ + δ_{n,n}σ_{n}(t) avec δ_{n,n} = Δ_{n−1} ≠ 0. Mais, d’après le point 1, puisque δ_{n,n} ≠ 0 on doit avoir δ_{n,1}σ_{1} + ⋯ + δ_{n,n}σ_{n} ≠ 0. Cela implique qu’il existe un v ∈ M tel que δ_{n,1}σ_{1}(v) + ⋯ + δ_{n,n}σ_{n}(v) ≠ 0, ce qui donne

Δ_{n} = | \begin{matrix}1 & x_{1} & ⋯ & u_{1} & v_{1} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & ⋯ & u_{n} & v_{n} \end{matrix} | ≠ 0 .

□

On a alors comme corollaire.

Théorème 1 (théorème d’Artin) Toujours avec les notations 1, dans le cas d’un groupe fini d’automorphismes de L, les y^{j} donnés dans le point 2 de la proposition 2 forment une base de L sur K.

Preuve Soit a ∈ L, on veut l’écrire sous la forme ∑_{j=1}^{n} a_{j}y^{j} avec les a_{j} dans K. Ceci implique σ_{i}(a) = ∑_{j=1}^{n} a_{j}σ_{i}(y^{j}) pour i = 1 …, n. Ceci peut être vu comme un système linéaire de n équations à n inconnues a_{i} dans L. Par construction ce système linéaire admet une solution unique (a_{1}, …, a_{n}) dans L^{n}. Si on transforme le système linéaire au moyen de l’un quelconque des automorphismes σ dans G, on obtient le même système (seul l’ordre dans lequel sont écrites les équations a changé). Donc, par unicité, (a_{1}, …, a_{n}) = (σ(a_{1}), …, σ(a_{n})). Et les a_{i} sont bien dans K. □

Il est remarquable (et bien connu) que ce théorème assure déjà la moitié de la correspondance galoisienne entre sous K-extensions de L et sous-groupes de G : l’égalité entre le degré de l’extension et l’ordre du groupe d’une part, le caractère injectif de l’application sous-groupe ↦ sous K-extension d’autre part.

Analyse de la preuve du lemme de Dedekind

Tout d’abord, nous pouvons énoncer précisément un lemme qui correspond à la récurrence dans la preuve du point 1 de la proposition 2. Disons qu’une partie X de M sépare {σ_{1}, …, σ_{n}} si σ_{1}|_{X}, …, σ_{n}|_{X} sont linéairement indépendants. On a démontré le lemme suivant :

Lemme 3 Si X sépare {σ_{1}, …, σ_{k}}, si Y sépare {σ_{2}, …, σ_{k+1}} et si {a} sépare {σ_{1}, σ_{k+1}}, alors X ∪ a X ∪ Y sépare {σ_{1}, …, σ_{k+1}}.

Voyons maintenant pourquoi la preuve de la proposition 2 pose problème du point de vue constructif.

Dans la preuve de la proposition 2, l’indépendance linéaire est vue sous forme négative dans le point 1, tandis que dans le point 2, les y^{j} forment un système qui témoigne de cette indépendance sous forme positive : l’inversibilité d’une matrice (c’est-à-dire celle de son déterminant).

Le point 2 qui est sous forme positive est obtenu par l’intermédiaire d’un raisonnement par l’absurde et donc les y^{j} ne sont pas donnés par la preuve sous forme explicite. En effet on a prouvé au point 1 :

∀α_{1}, …, α_{n} ∈ L, (∀t ∈ M ∑_{i=1}^{n} α_{i} σ_{i}(t) = 0) ⟹ α_{1} = ⋯ = α_{n} = 0.

mais on a utilisé pour montrer le point 2 quelque chose d’un peu plus précis :

∀α_{1}, …, α_{n} ∈ L, α_{n} ≠ 0 ⟹ ∃v ∈ M ∑_{i=1}^{n} α_{i} σ_{i}(v) ≠ 0.

Par ailleurs dans le fonctionnement de la preuve nous voyons que le monoïde M n’intervient pas directement. Il peut être avantageusement remplacé par son image dans L^{n} qui est un monoïde pour la loi multiplicative produit.

Le lemme de Dedekind peut alors être reformulé comme suit, uniquement dans le corps L. Nous supposerons que nous avons un test d’égalité à 0 dans le corps L (on dit alors que le corps est discret).

Lemme 4 (lemme de Dedekind-Artin, reformulé) Soit L un corps discret. On considère l’espace des vecteurs colonnes L^{n} comme un monoïde multiplicatif pour la loi produit (^{t}(a_{1}, …, a_{n}) · ^{t}(b_{1}, …, b_{n}) = ^{t}(a_{1}b_{1}, …, a_{n}b_{n})). Soit C une partie finie de L^{n} qui contient la colonne 1 et qui sépare les lignes (i.e., pour 1 ≤ i < j ≤ n il y a une c ∈ C telle que c_{i} ≠ c_{j}. Alors dans le monoïde engendré par C il y a n colonnes linéairement indépendantes.

Un cas particulièrement simple est fourni si une seule colonne a = ^{t}(a_{1}, …, a_{n}) sépare toutes les lignes. Alors les colonnes 1, a, a^{2}, …, a^{n−1} forment une matrice de Vandermonde dont le déterminant est clairement non nul. Le lemme de Dedekind peut donc être compris comme une généralisation des déterminants de Vandermonde.

Preuve constructive du lemme 4

Nous allons maintenant extraire de la preuve par l’absurde de la proposition 2 donnée précédemment, une preuve constructive explicite du lemme 4.

Puisque le corps est discret, pour démontrer qu’au moins un élément du corps, dans une liste donnée, est inversible, il suffira de réduire à l’absurde l’hypothèse que tous les éléments de la liste sont nuls.

Nous procédons par récurrence sur n. Mais plutôt que de traiter directement le cas général nous regarderons fonctionner les premières étapes.

On notera que nous faisons fonctionner ici une version forte du lemme 3, dans laquelle l’indépendance linéaire est certifiée par un mineur inversible dans une matrice convenable.

Pour n = 1 la colonne 1 convient.

Pour n = 2, soit c^{1,2} une colonne qui sépare les lignes 1 et 2. Les colonnes 1 et x = c^{1,2} conviennent :

| \begin{matrix}1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{matrix} | = x_{2} − x_{1} ≠ 0

Désormais nous notons c^{i,j} une colonne qui sépare les lignes i et j (la notation est ambigüe puisque n n’est pas précisé).

De même nous notons C^{i,j} l’ensemble fini sélectionné comme indiqué à l’étape précédente, lorsqu’on considère les lignes i et j.

Pour n = 3 : voici un ensemble fini C^{1,2,3} convenable de colonnes : une matrice carrée d’ordre 3 extraite, pour les lignes 1, 2, 3, est certainement inversible.

C^{1,2,3} = C^{1,2} ∪ c^{1,3} · C^{1,2} ∪ C^{2,3} = [ \begin{matrix}1 & x_{1} & y_{1} & x_{1}y_{1} & z_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} & x_{2}y_{2} & z_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} & x_{3}y_{3} & z_{3} \end{matrix} ] (x_{1} ≠ x_{2}, y_{1} ≠ y_{3}, z_{2} ≠ z_{3})

(si une colonne apparaît deux fois dans cette matrice on peut évidemment supprimer sa deuxième occurence). Dans cette matrice nous pouvons garantir que l’un des trois mineurs suivants

| \begin{matrix}1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}y_{1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}y_{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}y_{3} \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & x_{1} & z_{1} \\ 1 & x_{2} & z_{2} \\ 1 & x_{3} & z_{3} \end{matrix} | ,

est certainement non nul.

En effet, notons δ_{2,1}, δ_{2,2}, δ_{2,3} les trois mineurs 2 × 2 extraits sur les deux premières colonnes, de sorte que les mineurs 3 × 3 ci-dessus sont respectivement égaux à

\begin{aligned}α & = & δ_{2,1} y_{1} & + & δ_{2,2} y_{2} & + & δ_{2,3} y_{3} \\ β & = & δ_{2,1} x_{1}y_{1} & + & δ_{2,2} x_{2}y_{2} & + & δ_{2,3} x_{3}y_{3} \\ γ & = & δ_{2,1} z_{1} & + & δ_{2,2} z_{2} & + & δ_{2,3} z_{3} \end{aligned}

Notons aussi que par construction

\begin{aligned}δ & = & δ_{2,1} & + & δ_{2,2} & + & δ_{2,3} & = & 0 \\ η & = & δ_{2,1} x_{1} & + & δ_{2,2} x_{2} & + & δ_{2,3} x_{3} & = & 0 \end{aligned}

Par hypothèse de récurrence on sait que δ_{2,3} ≠ 0. Si on avait α = β = γ = δ = η = 0, on en déduirait :

\begin{aligned}α − y_{3}δ & = & 0 & = & (y_{1} − y_{3})δ_{2,1} & + & (y_{2} − y_{3})δ_{2,2} \\ β − y_{3}η & = & 0 & = & (y_{1} − y_{3})δ_{2,1}x_{1} & + & (y_{2} − y_{3})δ_{2,2}x_{2} \end{aligned}

c’est-à-dire encore

[ 0 0 ] = [ (y_{1} − y_{3})δ_{2,1} y_{2} − y_{3})δ_{2,2} ] · [ \begin{matrix}1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{matrix} ] .

D’où on déduit (y_{1} − y_{3})δ_{2,1} = 0 puis δ_{2,1} = 0. On a alors γ = δ_{2,2}z_{2} + δ_{2,3}z_{3} = 0 et δ = δ_{2,2} + δ_{2,3} = 0, c’est-à-dire

[ 0 0 ] = [ δ_{2,2} δ_{2,3} ] · [ \begin{matrix}1 & z_{2} \\ 1 & z_{3} \end{matrix} ] ,

ce qui implique par hypothèse de récurrence δ_{2,2} = δ_{2,3} = 0, ce qui est absurde.

De la même manière pour n = 4 nous pouvons prendre une matrice ayant pour colonnes :

C^{1,2,3,4} = C^{1,2,3} ∪ c^{1,4} · C^{1,2,3} ∪ C^{2,3,4}

Plus précisément :

[ \begin{matrix}1 & x_{1} & y_{1} & x_{1}y_{1} & z_{1} & u_{1} & u_{1}x_{1} & u_{1}y_{1} & u_{1}x_{1}y_{1} & u_{1}z_{1} & v_{1} & v_{1}z_{1} & w_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} & x_{2}y_{2} & z_{2} & u_{2} & u_{2}x_{2} & u_{2}y_{2} & u_{2}x_{2}y_{2} & u_{2}z_{2} & v_{2} & v_{2}z_{2} & w_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} & x_{3}y_{3} & z_{3} & u_{3} & u_{3}x_{3} & u_{3}y_{3} & u_{3}x_{3}y_{3} & u_{3}z_{3} & v_{3} & v_{3}z_{3} & w_{3} \\ 1 & x_{4} & y_{4} & x_{4}y_{4} & z_{4} & u_{4} & u_{4}x_{4} & u_{4}y_{4} & u_{4}x_{4}y_{4} & u_{4}z_{4} & v_{4} & v_{4}z_{4} & w_{4} \end{matrix} ]

où c^{1,4} = ^{t}(u_{1}, …, u_{4}) avec u_{1} ≠ u_{4}, c^{2,4} = ^{t}(v_{1}, …, v_{4}) avec v_{2} ≠ v_{4}, c^{3,4} = ^{t}(w_{1}, …, w_{4}) avec w_{3} ≠ w_{4}.

Nous garantissons que l’un des mineurs extraits qui vont apparaître dans le raisonnement qui suit est certainement non nul. Nous sélectionnons dans C^{1,2,3} (c’est-à-dire parmi les cinq premières colonnes de la matrice ci-dessus) trois colonnes, 1, x, c, telles que le mineur 3 × 3 sur les trois premières lignes est non nul, conformément à l’hypothèse de récurrence. De même nous sélectionnons dans C^{2,3,4} (c’est-à-dire parmi les colonnes 1, 5, 11, 12, 13 de la matrice ci-dessus) trois colonnes, 1, z, e, telles que le mineur 3 × 3 sur les trois dernières lignes est non nul, conformément à l’hypothèse de récurrence. Nous notons δ_{3,1}, δ_{3,2}, δ_{3,3}, δ_{3,4} les quatre mineurs 3 × 3 extraits sur les colonnes 1, x, c, de sorte que les mineurs 4 × 4 du type |1, x, c, t| sont égaux à δ_{3,1}t_{1} + δ_{3,2}t_{2} + δ_{3,3}t_{3} + δ_{3,4}t_{4} (avec δ_{3,4} = Δ_{3} ≠ 0). On prend pour t les colonnes suivantes : 1, x, c, u, u · x, u · c, z, e. Si on appelle L_{i} la i-ème ligne de la matrice obtenue en gardant ces colonnes et si on suppose tous les mineurs |1, x, c, t| nuls, cela donne δ_{3,1}L_{1} + δ_{3,2}L_{2} + δ_{3,3}L_{3} + δ_{3,4}L_{4} = 0. Montrons que cette supposition est absurde. Les trois mineurs avec t = 1, x ou c sont nuls par construction. Les trois mineurs avec t = u, u · x, u · c étant supposés nuls, on obtient par combinaisons linéaires convenables, comme dans le cas n = 3 :

[ 0 0 0 ] = [ (u_{1} − u_{4})δ_{3,1} (u_{2} − u_{4})δ_{3,2} (u_{3} − u_{4})δ_{3,3} ] · [ \begin{matrix}1 & x_{1} & c_{1} \\ 1 & x_{2} & c_{2} \\ 1 & x_{3} & c_{3} \end{matrix} ] .

D’où on déduit (u_{1} − u_{4})δ_{3,1} = 0, puis δ_{3,1} = 0, et donc δ_{3,2}L_{2} + δ_{3,3}L_{3} + δ_{3,4}L_{4} = 0. En particulier

[ 0 0 0 ] = [ δ_{3,2} δ_{3,3} δ_{3,4} ] · [ \begin{matrix}1 & z_{2} & e_{2} \\ 1 & z_{3} & e_{3} \\ 1 & z_{4} & e_{4} \end{matrix} ] .

d’où δ_{3,2} = δ_{3,3} = δ_{3,4} = 0, ce qui est absurde.

Plus généralement on peut prendre :

C^{1,...,n+1} = C^{1,...,n} ∪ c^{1,n+1} · C^{1,...,n} ∪ C^{2,...,n+1}

avec un système convenable de mineurs extraits. Le nombre de colonnes dans la matrice C^{1,...,n} peut être facilement majoré, par exemple par 2 × 3^{n−2}, et on pourrait trouver une majoration de même style pour le nombre de mineurs concernés.

Nous laissons le soin au lecteur sceptique d’écrire en détail l’étape de récurrence, par exemple en démontrant directement la version forte du lemme 3.

2 Utilisation non triviale de l’anneau trivial

La preuve précédente vaut dans la théorie formelle des corps discrets (les corps avec test d’égalité à 0). On peut l’interprèter en disant que l’hypothèse les s_{ij} sont inversibles^{1}, mais les mineurs sélectionnés dans la matrice C^{1,...,n} sont nuls conduit à une contradiction dans la théorie des corps.

Un théorème important affirme que lorsqu’un système d’hypothèses de ce type conduit à une contradiction, cela est confirmé par un certificat algébrique de type Nullstellensatz (pour un traitement constructif voir par exemple [1]). Précisément, si on remplace L par un anneau commutatif arbitraire B, si on note S le monoïde engendré par les s_{ij} (1 ≤ i < j ≤ n) et J l’idéal engendré par les mineurs sélectionnés, on a S ∩ J ≠ ∅. Ou encore : l’anneau S^{−1}(B/J) est trivial. Ce résultat est plus général et il implique en particulier que dans le cas des corps, le résultat reste vrai sans l’hypothèse que le corps est discret.

En fait la preuve constructive que nous venons de donner pour le lemme 4, par l’absurde en supposant que L est un corps discret, peut être relue comme une preuve que l’anneau S^{−1}(B/J) est trivial. L’absurdité dans le corps, c’est que 1 = 0, mais 1 = 0 dans S^{−1}(B/J), c’est justement un résultat concret : on a explicité un élément dans S ∩J ! C’est ce que Richman [4] appelle une utilisation non triviale de l’anneau trivial.

1 Voir les notations 1

Nous aurons besoin dans le cas général du lemme de recollement suivant. Ce lemme peut être vu comme un cas particulier d’un principe local-global concret qui sert de substitut constructif à un principe local-global abstrait (cf. [3]).

Lemme 5 (Lemme de recollement) Soit C un anneau et α_{1}, …, α_{n} des éléments comaximaux, c’est-à-dire tels que ⟨α_{1}, …, α_{n}⟩ = ⟨1⟩. Alors C est trivial si et seulement si chacun des anneaux localisés C[1/α_{i}] est trivial.

Preuve L’hypothèse signifie une égalité α_{1}β_{1} + ⋯ + α_{n}β_{n} = 1. Dire que C[1/α_{i}] est trivial c’est dire que α_{i} est nilpotent dans C. A fortiori chaque α_{i}β_{i} est nilpotent dans C. Enfin une somme d’éléments nilpotents est un élément nilpotent. Donc 1 est nilpotent dans C, donc 1 = 0 dans C. □

Il peut sembler étonnant qu’une telle suite d’évidences concernant l’anneau trivial puisse avoir une efficacité dans un calcul ou une preuve. C’est pourtant le cas.

C’est l’objet des paragraphes qui suivent.

Pour simplifier l’exposé nous commençons par le cas d’un anneau local, où le lemme de recollement n’est pas nécessaire.

Le lemme de Dedekind pour les anneaux locaux

Rappelons que la définition constructive d’un anneau local (équivalente en mathématiques classiques à la définition classique) : c’est un anneau dans lequel pour tout x, x ou 1 + x est inversible.

De plus un corps arbitraire (comme le corps des réels, ou celui des p-adiques) est toujours un anneau local, même s’il n’est pas discret.

Le théorème suivant sur les anneaux locaux s’applique donc en particulier pour les corps non discrets.

Théorème 2 (lemme de Dedekind-Artin, version anneaux locaux) Soit B un anneau local, (M, ., 1) un monoïde, σ_{i}, i = 1 …, n des homomorphismes du monoïde M dans le monoïde multiplicatif de l’anneau. On suppose que pour 1 ≤ i < j ≤ n il existe x^{i,j} ∈ M tel que σ_{i}(x^{i,j}) − σ_{j}(x^{i,j}) est inversible. Alors il existe n éléments y^{1}, …, y^{n} de M tels que la matrice (σ_{i}(y^{j}))_{1≤i,j≤n} soit inversible.

En mathématiques classiques on obtient le théorème 2 en considérant le corps résiduel de l’anneau local et en appliquant la proposition 2.

Pour la preuve constructive, nous ne pouvons appliquer simplement le lemme 4 puisque nous ne supposons pas ici le corps résiduel discret. Nous allons voir néanmoins qu’une très légère modification de la preuve du lemme 4 fournit une preuve constructive du théorème 2.

Nous reformulons d’abord un peu plus précisément le théorème 2, dans le style du lemme 4.

Théorème 2 (reformulé) Soit B un anneau local. On considère le B-module des vecteurs colonnes B^{n} comme un monoïde multiplicatif pour la loi produit (^{t}(a_{1}, …, a_{n}) · ^{t}(b_{1}, …, b_{n}) = ^{t}(a_{1}b_{1}, …, a_{n}b_{n})). Soit C une partie finie de B^{n} qui contient la colonne 1 et qui sépare les lignes : i.e., pour 1 ≤ i < j ≤ n il y a une colonne c ∈ C telle que c_{i} − c_{j} soit inversible. Alors dans le monoïde engendré par C il y a n colonnes dont le déterminant n × n est inversible.

Preuve constructive Pour n = 1 ou 2 il n’y a rien à faire. Cas n = 3 : Considérons trois colonnes x, y, z de C, telles que x_{1}−x_{2}, y_{1}−y_{3} et z_{2}−z_{3} sont inversibles. Notons J_{1,2,3} l’idéal engendré par les trois mineurs respectivement basés sur les colonnes (1, x, y), (1, x, xy), (1, x, z). Alors la preuve écrite page 4 peut être vue comme une preuve du fait que l’anneau C = B/J_{1,2,3} est trivial. Pour la lectrice sceptique, nous réécrivons la chose. L’idéal J_{1,2,3} est engendré par les trois mineurs suivants

| \begin{matrix}1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}y_{1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}y_{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}y_{3} \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & x_{1} & z_{1} \\ 1 & x_{2} & z_{2} \\ 1 & x_{3} & z_{3} \end{matrix} | ,

qui sont nuls dans C. Notons δ_{2,1}, δ_{2,2}, δ_{2,3} les trois mineurs 2 × 2 extraits sur les deux premières colonnes, de sorte que les mineurs 3×3 ci-dessus sont respectivement égaux à α = δ_{2,1}y_{1}+δ_{2,2}y_{2}+δ_{2,3}y_{3}, β = δ_{2,1}x_{1}y_{1} + δ_{2,2}x_{2}y_{2} + δ_{2,3}x_{3}y_{3} et γ = δ_{2,1}z_{1} + δ_{2,2}z_{2} + δ_{2,3}z_{3}. Notons aussi que par construction η = δ_{2,1}x_{1} + δ_{2,2}x_{2} + δ_{2,3}x_{3} = 0 et δ = δ_{2,1} + δ_{2,2} + δ_{2,3} = 0. On sait que δ_{2,3} est inversible. Puisque α = β = γ = δ = η = 0 dans C, on en déduit :

\begin{aligned}α − y_{3}δ & = & 0 & = & (y_{1} − y_{3})δ_{2,1} & + & (y_{2} − y_{3})δ_{2,2} \\ β − y_{3}η & = & 0 & = & (y_{1} − y_{3})δ_{2,1}x_{1} & + & (y_{2} − y_{3})δ_{2,2}x_{2} \end{aligned}

c’est-à-dire encore

[ 0 0 ] = [ (y_{1} − y_{3})δ_{2,1} y_{2} − y_{3})δ_{2,2} ] · [ \begin{matrix}1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{matrix} ] .

D’où on déduit (y_{1} − y_{3})δ_{2,1} = 0 (parce que δ_{2,3} est inversible) puis δ_{2,1} = 0 (parce que (y_{1} − y_{3}) est inversible). On a alors γ = δ_{2,2}z_{2} + δ_{2,3}z_{3} = 0 et δ = δ_{2,2} + δ_{2,3} = 0, c’est-à-dire

[ 0 0 ] = [ δ_{2,2} δ_{2,3} ] · [ \begin{matrix}1 & z_{2} \\ 1 & z_{3} \end{matrix} ] ,

ce qui implique, puisque | \begin{matrix}1 & z_{2} \\ 1 & z_{3} \end{matrix} | est inversible, que δ_{2,2} = δ_{2,3} = 0, or δ_{2,3} est inversible, donc C est

trivial. Ainsi il existe α, β, γ ∈ B avec α |1, x, y| + β |1, x, xy| + γ |1, x, z| = 1. Puisque l’anneau est local cela implique que l’un des trois mineurs |1, x, y|, |1, x, xy|, |1, x, z| est inversible. Cas n = 4 : Soient x, y, z, u, v, w six colonnes de C, telles que les éléments x_{1} −x_{2}, y_{1} −y_{3}, z_{2} −z_{3}, u_{1} −u_{4}, v_{2} −v_{4} et w_{3} − w_{4} sont inversibles. D’après ce qu’on a vu pour le cas n = 3, un des 3 générateurs de J_{1,2,3} (celui correspondant aux colonnes 1, x, c) et l’un des 3 générateurs de J_{2,3,4} (celui correspondant aux colonnes 1, z, e) sont inversibles. Notons alors J_{1,2,3,4} l’idéal engendré par les mineurs 4 × 4 correspondant aux 4 premières lignes et aux colonnes 1, x, c, t où on prend pour t les colonnes suivantes : 1, x, c, u, u · x, u · c, z, e. Alors la preuve page 4 montre que l’anneau C = B/J_{1,2,3,4} est trivial. Pour le lecteur sceptique, nous réécrivons la chose. On appelle L_{i} la i-ème ligne de la matrice obtenue en gardant les colonnes citées ci-dessus et puisque tous les mineurs |1, x, c, t| sont nuls dans C, cela donne δ_{3,1}L_{1} + δ_{3,2}L_{2} + δ_{3,3}L_{3} + δ_{3,4}L_{4} = 0. En considérant les mineurs avec t = 1, x, c et ceux avec t = u, u · x, u · c, on obtient par combinaisons linéaires convenables :

[ 0 0 0 ] = [ (u_{1} − u_{4})δ_{3,1} (u_{2} − u_{4})δ_{3,2} (u_{3} − u_{4})δ_{3,3} ] · [ \begin{matrix}1 & x_{1} & c_{1} \\ 1 & x_{2} & c_{2} \\ 1 & x_{3} & c_{3} \end{matrix} ] .

D’où on déduit (u_{1} − u_{4})δ_{3,1} = 0, et puisque (u_{1} − u_{4}) est inversible, δ_{3,1} = 0. Donc δ_{3,2}L_{2} + δ_{3,3}L_{3} + δ_{3,4}L_{4} = 0. En particulier

[ 0 0 0 ] = [ δ_{3,2} δ_{3,3} δ_{3,4} ] · [ \begin{matrix}1 & z_{2} & e_{2} \\ 1 & z_{3} & e_{3} \\ 1 & z_{4} & e_{4} \end{matrix} ] .

Or le déterminant de la matrice carrée ci-dessus est inversible (dans B donc a fortiori dans C) et donc δ_{3,2} = δ_{3,3} = δ_{3,4} = 0. Or

δ_{3,4} = | \begin{matrix}1 & x_{1} & c_{1} \\ 1 & x_{2} & c_{2} \\ 1 & x_{3} & c_{3} \end{matrix} |

est inversible dans C, donc C est trivial. Puisque l’anneau est local cela implique que l’un des mineurs |1, x, c, t| où t est l’une des colonnes u, u · x, u · c, z, e est inversible. La preuve complète peut se faire par récurrence, mais nous laissons ce soin à la lectrice courageuse. □

Une forme générale du lemme de Dedekind

En mathématiques classiques on déduit facilement du lemme de Dedekind (proposition 2) le théorème suivant, au moyen d’une zornette. C’est une généralisation de l’identité algébrique que nous avons signalée au début de la section 2. Théorème 3 (lemme de Dedekind-Artin, version anneaux commutatifs) Soit B un anneau commutatif, (M, ., 1) un monoïde, σ_{i}, i = 1 …, n des homomorphismes du monoïde M dans le monoïde multiplicatif de l’anneau. On suppose que pour 1 ≤ i < j ≤ n l’idéal I_{i,j} engendré par les σ_{i}(x) − σ_{j}(x) (lorsque x parcourt M) contient 1. Considérons l’idéal J engendré par les déterminants de n colonnes du type ^{t}(σ_{1}(x), …, σ_{n}(x)). Cet idéal contient 1. Preuve classique Si 1 ∉ J soit 𝔪 un idéal maximal contenant J. Dans le corps B/𝔪 les hypothèses de la proposition 2 sont vérifiées. Donc l’idéal J contient un élément inversible dans B/𝔪. Ceci est en contradiction avec J ⊂ 𝔪. □ Voici maintenant la même preuve, mais constructive. La même preuve, constructive Nous reformulons un peu plus précisément le théorème précédent, dans le style du lemme 4.

Théorème 3 (reformulé) Soit B un anneau commutatif. On considère le B-module des vecteurs colonnes B^{n} comme un monoïde multiplicatif pour la loi produit (^{t}(a_{1}, …, a_{n}) · ^{t}(b_{1}, …, b_{n}) = t(a_{1}b_{1}, …, a_{n}b_{n})). Soit C une partie finie de B^{n} qui contient la colonne 1 et qui sépare les lignes : i.e., ⟨c_{i} − c_{j} ; c ∈ C⟩ = B (pour 1 ≤ i < j ≤ n). Alors dans le monoïde engendré par C on peut extraire une matrice finie dont les mineurs n × n sont comaximaux.

Remarques 1) Une telle matrice est souvent appelée unimodulaire, l’unimodularité est équivalente à la surjectivité de l’application linéaire correspondante.

2) Dans la preuve qui suit on va voir que dans le monoïde engendré par C, on n’utilise que les éléments qui sont produits d’au plus n − 1 éléments de C. Pour n = 1 ou 2 il n’y a rien à faire. Pour n ≥ 3 on va reprendre la preuve donnée dans le cas local en utilisant le lemme de recollement 5). Comme dans le cas local nous ne traiterons en détail que les cas n = 3 et n = 4. Tout d’abord avec n = 3. Considérons d’abord le cas où x, y, z sont trois colonnes de C, telles que x_{1} − x_{2}, y_{1} − y_{3} et z_{2} − z_{3} sont inversibles. Notons J_{1,2,3} l’idéal engendré par les trois mineurs respectivement basés sur les colonnes (1, x, y), (1, x, xy), (1, x, z). Alors la preuve du cas analogue pour un anneau local fonctionne sans changement aucun comme une preuve du fait que l’anneau C = B/J_{1,2,3} est trivial. Dans le cas général pour chaque colonne x qui intervient pour certifier que l’idéal engendré par les x_{1} − x_{2} contient 1, pour chaque colonne y qui intervient pour certifier que l’idéal enegendré par les y_{1} − y_{3} contient 1, et pour chaque colonne z qui intervient pour certifier que l’idéal engendré par les z_{2} − z_{3} contient 1, on note J_{1,2,3}^{x,y,z} l’idéal engendré par les trois mineurs respectivement basés sur les colonnes (1, x, y), (1, x, xy), (1, x, z). D’après le cas particulier examiné en premier, si B_{1,2,3}^{x,y,z} = B[1/(x_{1} − x_{2})(y_{1} − y_{3})(z_{2} − z_{3})] on sait que B_{1,2,3}^{x,y,z}/J_{1,2,3}^{x,y,z} est trivial. Si nous définissons J_{1,2,3} comme la somme des J_{1,2,3}^{x,y,z}, nous avons a fortiori l’anneau B_{1,2,3}^{x,y,z}/J_{1,2,3} qui est trivial. Enfin puisque par hypothèse les (x_{1} − x_{2})(y_{1} − y_{3})(z_{2} − z_{3}) sont comaximaux (lorsqu’on fait parcourir à x, y et z les colonnes convenables), le lemme de recollement nous dit que l’anneau B/J_{1,2,3} est trivial. Voyons maintenant le cas n = 4. Commençons par examiner le cas particulier où x, y, z, u, v, w sont six colonnes de C, telles que les éléments x_{1} − x_{2}, y_{1} − y_{3}, z_{2} − z_{3}, u_{1} − u_{4}, v_{2} − v_{4} et w_{3} − w_{4} sont inversibles. Supposons aussi que l’un des 3 générateurs de J_{1,2,3} (celui correspondant aux colonnes 1, x, c) et l’un des 3 générateurs de J_{2,3,4} (celui correspondant aux colonnes 1, z, e) sont inversibles. Notons alors J_{1,2,3,4} l’idéal engendré par les mineurs 4 × 4 correspondant aux 4 premières lignes et aux colonnes 1, x, c, t où on prend pour t les colonnes suivantes : 1, x, c, u, u · x, u · c, z, e. Alors la preuve donnée dans la cas d’un anneau local fonctionne sans changement aucun pour montrer que l’anneau C = B/J_{1,2,3,4} est trivial. Enfin, comme dans le cas n = 3, le cas général se déduit de l’étude du cas particulier en utilisant le lemme de recollement et l’hypothèse de récurrence. □

Une version du théorème d’Artin valable pour les anneaux commutatifs (algèbres galoisiennes)

Elle est obtenue comme corollaire du théorème 3 de la même manière que le théorème d’Artin pour les corps était un corollaire de la proposition 2.

Théorème 4 (théorème d’Artin, version anneaux commutatifs : algèbres galoisiennes) Soit B un anneau commutatif, σ_{i}, i = 1 …, n des automorphismes de B, avec σ_{1} = Id, qui forment un groupe fini G séparant , au sens suivant : pour 2 ≤ i ≤ n l’idéal engendré par l’image de l’application σ_{i} − Id contient 1. On note A le sous-anneau de B fixé par G : A = {x ∈ B ; σ(x) = x, ∀σ ∈ G}. Alors B est un A-module projectif de type fini de rang constant n et A est facteur direct dans B.

Remarque Une étude des algèbres galoisiennes, c’est-à-dire des triplets (A, B, G) comme ci-dessus est faite dans [2].

Preuve On a une combinaison B-linéaire de mineurs qui est égale à 1, selon le théorème 3. Par construction chacun de ces mineurs δ vérifie σ(δ) = ±δ pour chaque σ ∈ G. Donnons d’abord la preuve dans le cas où les σ induisent tous par translation des permutations paires de G (c’est-à-dire l’ordre de G est impair ou, s’il est pair, les 2-Sylow de G ne sont pas cycliques). Les mineurs sont alors dans A. En fait ils ne sont pas seulement comaximaux dans B, ils le sont aussi dans A. Pour s’en convaincre il suffit de transformer la combinaison linéaire par les σ ∈ G et de faire le produit des combinaisons linéaires obtenues : Supposons en effet qu’on ait une égalité ∑_{i=1}^{ℓ} b_{i}δ_{i} = 1, considérons le polynome

∏_{σ∈G} ∑_{i=1}^{ℓ} σ(b_{i})X_{i} = ∑_{m_{1}+···+m_{ℓ}=|G|} a_{m_{1},...,m_{ℓ}}X_{1}^{m_{1}} ⋯ X_{ℓ}^{m_{ℓ}} .

Par construction les coefficients a_{m_{1},...,m_{ℓ}} sont fixés par G, donc dans A. Il est alors simple de réorganiser la somme

1 = ∑_{m_{1}+···+m_{ℓ}=|G|} a_{m_{1},...,m_{ℓ}}δ_{1}^{m_{1}} ⋯ δ_{ℓ}^{m_{ℓ}} ,

dont tous les termes sont dans A, en une somme ∑_{i=1}^{ℓ} α_{i}δ_{i} = 1, avec les α_{i} ∈ A. Enfin lorsqu’on rend un de ces mineurs inversibles, B devient libre de rang n sur A (même preuve que pour le théorème 1). Donc B est un A-module projectif de type fini de rang constant n. Pour voir que A est facteur direct dans le A-module B, il suffit de le vérifier localement pour chacun des anneaux localisés A[1/δ]. Or ceci est clair puisque la première colonne de la matrice qui donne le mineur δ est justement la colonne 1. Enfin s’il arrive que σ(δ) = −δ pour certains σ ∈ G, on se débrouille en considérant les δ^{2}. □

3 Plus simplement

Nous indiquons ici rapidement des preuves constructives élémentaires plus faciles des résultats précédents.

Preuve directe constructive simple du théorème 3

Comme nous l’avons déjà signalé, les mineurs d’ordre n d’une matrice M ∈ B^{m×n} avec m ≤ n engendrent l’idéal ⟨1⟩ si et seulement si la matrice est surjective (une fois qu’on sait que la matrice M est surjective, on peut l’inverser à droite et le fait que ses mineurs n × n sont comaximaux résulte alors de la formule de Binet-Cauchy).

Nous donnons ici une preuve directe de surjectivité à la Lagrange .

Théorème 3 (encore reformulé) Soit B un anneau commutatif. On considère les vecteurs colonnes B^{n} comme formant une B-algèbre (la loi produit est (^{t}(a_{1}, …, a_{n}) · ^{t}(b_{1}, …, b_{n}) = ^{t}(a_{1}b_{1}, …, a_{n}b_{n})).

Soit C une partie finie de B^{n} qui sépare les lignes : i.e., ⟨c_{i} − c_{j} ; c ∈ C⟩ = B (pour 1 ≤ i < j ≤ n). Alors la B-algèbre engendrée par C est égale à B^{n}.

La remarque fondamentale est que dans le B-module engendré par 1 et x = ^{t}(x_{1}, …, x_{n}) il y a le vecteur x − x_{2} 1 qui est du type ^{t}(x_{1} − x_{2}, 0, ×, …, ×) et le vecteur −x + x_{1} 1 qui est du type t(0, x_{1} − x_{2}, ×, …, ×). Donc lorsqu’on suppose que l’idéal I_{1,2} engendré par les x_{1} − x_{2} contient 1, cela implique que dans le B-module engendré par C il y a un vecteur g^{1,2} du type ^{t}(1, 0, g_{3}^{1,2}, … g_{n}^{1,2}) et un vecteur g^{2,1} du type ^{t}(0, 1, g_{3}^{2,1}, … g_{n}^{2,1}). Même chose en remplaçant 1 et 2 par deux entiers i < j ≤ n.

On en déduit que ^{t}(1, 0, 0, …, 0) = g^{1,2} · g^{1,3} ⋯ g^{1,n}, est dans la B-algèbre engendrée par C. De même, chaque vecteur de la base canonique de B^{n} sera dans la B-algèbre engendrée par C. □

Preuve directe constructive simple du théorème 4

Les éléments du groupe G sont σ_{1} = Id, σ_{2}, …, σ_{n}. On note pour x ∈ B, Tr_{G}(x) = Tr(x) = ∑_{σ∈G} σ(x). Il est clair que Tr : B → A est A-linéaire. Puisque les σ_{i} sont des automorphismes de B, la B-algèbre engendrée par les ^{t}(σ_{1}(x), …, σ_{n}(x)) est égale au B-module engendré par ces mêmes vecteurs.

D’après la preuve du paragraphe précédent il existe un entier N et des éléments x_{1}, …, x_{N}, y_{1}, …, y_{N} ∈ B tels que

∑_{i=1}^{N} x_{i} [ y_{i} ; σ_{2}(y_{i}) ; ⋮ ; σ_{n}(y_{i}) ] = [ 1 0 ⋮ 0 ]

C’est-à-dire encore, pour σ ∈ G

∑_{i=1}^{N} x_{i}σ(y_{i}) = \{ \begin{matrix}1 si σ = Id \\ 0 sinon \end{matrix}  (4)

On en déduit que pour tout z ∈ B, z = ∑_{i=1}^{N} Tr(zy_{i}) x_{i}. En effet

∑_{i=1}^{N} Tr(zy_{i}) x_{i} = ∑_{i=1}^{N} ∑_{j=1}^{n} σ_{j}(zy_{i})x_{i} = ∑_{j=1}^{n} σ_{j}(z) (∑_{i=1}^{N} σ_{j}(y_{i})x_{i}) = σ_{1}(z) × 1 + ∑_{j=2}^{n} σ_{j}(z) × 0 = z.

Notons y_{i}^{⋆} la forme A-linéaire z ↦ Tr(zy_{i}). On a établi que le système ((x_{1}, …, x_{N}), (y_{1}^{⋆}, …, y_{N}^{⋆})) est un système de coordonnées (certains auteurs disent une base) pour le A-module B. Celui-ci est donc projectif de type fini, isomorphe à l’image de la matrice de projection

P = (p_{ij})_{1≤i,j≤N} = (y_{i}^{⋆}(x_{j}))_{1≤i,j≤N} = (Tr(y_{i}x_{j}))_{1≤i,j≤N} .

Voyons que ce module projectif de type fini est bien de rang constant n.

D’après (4) on a aussi pour σ, τ ∈ G

∑_{i=1}^{N} τ(x_{i})σ(y_{i}) = \{ \begin{matrix}1 si σ = τ \\ 0 sinon \end{matrix}  (5)

Posons alors :

X = [ \begin{matrix}x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{N} \\ σ_{2}(x_{1}) & σ_{2}(x_{2}) & ⋯ & σ_{2}(x_{N}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ σ_{n}(x_{1}) & σ_{n}(x_{2}) & ⋯ & σ_{n}(x_{N}) \end{matrix} ] Y = [ \begin{matrix}y_{1} & y_{2} & ⋯ & y_{N} \\ σ_{2}(y_{1}) & σ_{2}(y_{2}) & ⋯ & σ_{2}(y_{N}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ σ_{n}(y_{1}) & σ_{n}(y_{2}) & ⋯ & σ_{n}(y_{N}) \end{matrix} ]

D’après (5) on a X^{t}Y = I_{n}. On retrouve que P = ^{t}Y X est une matrice de projection. En outre P est de rang n, puisque

det(I_{N} + λP) = det(I_{N} + λ^{t}Y X) = det(I_{n} + λ X^{t}Y) = (1 + λ)^{n} ,

(l’égalité du milieu peut se montrer facilement en complétant les matrices X et Y par des lignes nulles pour en faire des matrices carrées d’ordre N). Enfin la trace Tr est une application A-linéaire surjective de B sur A puisque le déterminant de I_{N} + λP a le coefficient de degré n égal à 1 (et ce coefficient est clairement dans l’image de la trace puisque les p_{ij} y sont). Soit b ∈ B tel que Tr(b) = 1, la forme linéaire f : B → A, z ↦ Tr(bz) est surjective et f(1) = 1. Donc B = A ⊕ Ker f. □

Références

[1] Coste M., Lombardi H., Roy M.-F. Dynamical method in algebra : Effective Nullstellensätze. Annals of Pure and Applied Logic 111, (2001) 203–256.

[2] Demeyer F., Ingraham E. Separable algebras over commutative rings. Springer Lecture Notes in Mathematics 181 (1971).

[3] Lombardi H., Quitté C. Constructions cachées en algèbre abstraite (2) Le principe local global. dans : Commutative ring theory and applications. Eds : Fontana M., Kabbaj S.-E., Wiegand S. Lecture notes in pure and applied mathematics vol 131. M. Dekker. (2002) 461–476.

[4] Richman F. Non trivial uses of trivial rings. Proc. Amer. Math. Soc., 103 (1988), 1012–1014.

12 H. Lombardi, C. Quitté

Table des matières

1 Le lemme de Dedekind et le théorème d’Artin 1 2 Utilisation non triviale de l’anneau trivial 5 3 Plus simplement 9 Bibliographie 11