Ce livre a pour objectif de donner une véritable intuition géométrique avec une base mathématique largement motivée. Il s'adresse aux enseignants du secondaire, aux étudiants des premier et deuxième cycles universitaires et sera particulièrement utile pour la préparation au CAPES et à l'agrégation.
L’ouvrage contient un traitement de la géométrie euclidienne (plane et dans l'espace), de la géométrie affine, de la géométrie sphérique, de la droite projective réelle, du plan hyperbolique (modèle de Beltrami) et un aperçu sur les espaces géométriques.
Ces géométries sont traitées au moyen d'outils essentiellement algébriques et pas très sophistiqués. Le seul véritable prérequis est une bonne connaissance de l'algèbre linéaire.
Une place importante est accordée aux commentaires, au sens, aux figures, à la discussion des définitions, aux preuves intuitives et aux théorèmes structurels. L'accent est mis sur les théorèmes fondamentaux qui sont "les mêmes" pour les trois géométries planes métriques (euclidienne, sphérique et hyperbolique).
Un tome 2 est en préparation.
Présentation
Ce fascicule comprend les 9 premiers chapitres d'un cours sur les géométries élémentaires. Le découpage à la fin du chapitre 9 est un peu arbitraire, ce dont le lecteur voudra bien nous excuser.
Nous entendons par géométries élémentaires des géométries qui peuvent se traiter au moyens d'outils essentiellement algébriques et pas trop sophistiqués d'une part, et qui présentent une grande régularité d'autre part.
La grande régularité se traduit par l'existence de groupes de transformations assez gros qui conservent la structure géométrique.
Nous ne ferons donc que quelques brèves excursions dans un domaine comme la géométrie d'une surface à courbure variable.
Les géométries élémentaires comprennent tout d'abord les différentes géométries métriques planes régulières : euclidienne, sphérique (et elliptique), hyperbolique (plan de Lobatchevski, Bolyai, Beltrami, Klein, Poincaré et Cie).
Elles comprennent aussi les géométries affine, projective et circulaire.
Enfin, elles comprennent les géométries d'espace-temps, galiléennes ou einsteiniennes.
Toutes ces géométries ont des relations étroites entre elles. Par exemple la géométrie circulaire de dimension 2 (géométrie des cercles de la sphère) est une géométrie qui englobe les trois géométries métriques planes, mais qui est aussi la géométrie du ciel de la relativité restreinte.
Nous accordons une place assez importante aux commentaires, au sens, à la discussion des définitions, aux preuves intuitives. Nous énonçons beaucoup de théorèmes avec seulement un schéma de la preuve.
Nous invitons la lectrice à considérer les nombres qui numérotent les pages comme de vrais nombres mathématiques, et les cercles et droites dessinés ici ou là comme de vrais cercles et droites mathématiques. Les trop nombreuses pages sans figures sont uniquement imputables à la paresse de l'auteur et absolument pas à son désir de faire des démonstrations justes sur des figures inexistantes.
Nous nous limitons presque systématiquement aux dimensions 1, 2, 3 (quelquefois 4) en procédant des petites vers les grandes. Ceci n'a rien à voir avec le fait que tout nombre entier est somme de 4 carrés, ni avec le fait que les équations de degré strictement supérieur à 4 ne sont pas en général solubles par radicaux. Par contre, cela a à voir avec le fait que nous attribuons ordinairement la dimension 3 à l'espace ambiant et la dimension 4 à notre espace temps.
L'auteur sera très heureux des appréciations critiques de ce travail qui lui seront adressées. Ne comptez pas cependant recevoir un dollar en échange d'une erreur que vous auriez signalée.
Henri
Lombardi
Table des matières
Géométries élémentaires (I)
a) Remarques générales sur ce cours 9
Les méthodes en géométrie
élémentaire
Les géométries non euclidiennes
Les géométries d'espace-temps
c) Groupe opérant sur un ensemble, sur un groupe 14
Groupe opérant sur un ensemble
Groupe opérant sur un groupe, produit semi-direct
1) Géométrie euclidienne plane.
Le plan euclidien comme espace métrique.
a) Introduction 21
La démarche suivie dans ce chapitre
Démonstration du Théorème de Pythagore avec des
puzzles
Le produit scalaire : discussion informelle
b) Le modèle standard de plan euclidien et son groupe d'isométries 26
Une définition laborieuse
Quelques notions de base
Isométries du modèle standard
c) La géométrie d'un plan euclidien arbitraire 36
Notions qui peuvent être définies
dans un plan euclidien arbitraire
Repérage d'un plan euclidien
Le groupe des isométries
Angles
2) Géométrie affine plane réelle
Introduction 51
a) Qu'est-ce qui reste dans un plan euclidien quand on a perdu l'unité de longueur ? 52
Homothéties et translations
Similitudes
Similitudes directes
b) Applications et transformations affines 57
Applications affines
Transformations affines d'un plan euclidien
c) Propositions de définitions pour "un plan réel affine" 61
d) Les implicites géométriques du calcul vectoriel 64
e) Aires et déterminants 65
f) Théorèmes structurels 68
3) Géométrie affine de dimension n sur un corps commutatif
Introduction 75
a) Généralités 76
Définitions et premières
propriétés
Structure affine d'un espace vectoriel
Hyperplans, dualité
b) Calculs dans les espaces affines 84
Quelques exemples et quelques modèles
Le calcul sur les coordonnées
Le calcul barycentrique
c) Le groupe affine 88
d) Espaces affines réels et complexes 92
Généralités
Topologie d'un espace affine réel
Orientation d'un espace affine réel
Droite affine complexe
Complexification d'un espace affine réel
e) Relations d'incidence dans l'espace affine en dimension 3 : géométrie affine synthétique 96
Axiomes d'incidence dans l'espace affine
Le groupe des translations
Le groupe des homothétie-translations
Bipoints équipollents. Vecteurs
Le corps des scalaires et la structure d'espace vectoriel
4) Géométrie euclidienne dans l'espace
(de dimension 3)
Introduction 109
a) Produit scalaire, distance, orthogonalité 110
L'espace euclidien
Distance d'un point à un plan, équations normalisées
d'un plan
Distance d'un point à une droite
Produit scalaire et barycentre
b) Isométries de l'espace euclidien 114
Définition et premier théorème
fondamental
Problèmes d'orientation
Deuxième théorème fondamental
Le groupe des rotations qui fixent un point
Le groupe des déplacements
Classification des isométries indirectes
Forme analytique des isométries
Questions d'angles
c) Similitudes, transformations affines 125
d) Théorèmes structurels 127
e) Généralisations 129
5) Géométrie métrique de la sphère
Introduction
a) Propriétés élémentaires de la distance 131
Notations et définitions
Somme des angles d'un triangle
Formule fondamentale de la trigonométrie sphérique
Topologie d'un plan sphérique
Cercles et disques
Géométrie élémentaire du triangle
L'aire d'une figure sphérique
b) Les isométries de la sphère 147
Une première approche, externe
Symétries points, symétries orthogonales et symétrie
antipodale
Premier théorème fondamental
Questions d'orientation
Un système naturel de repères
Translations et rotations
Le groupe des isométries qui fixent un point
Symétries glissées
6) Espaces géométriques
Introduction
Plus court chemin d'un point à un autre dans un espace métrique 157
Espaces géométriques 162
La relation de plus grande proximité 166
7) Droite projective réelle, homographies
a) Introduction 169
Perspective d'une droite sur une autre
droite
Paramétrages rationnels d'un cercle
Transformations naturelles d'un cercle
b) Droites projectives, homographies, birapport 172
Homographies entre faisceaux de droites
Birapport de 4 droites d'un faisceau
Définition de la structure de droite projective
Topologie de la droite projective réelle
Droite projective et dualité
c) Le groupe des homographies d'une droite projective 181
Résultats généraux
Homographies directes et indirectes
Divisions harmoniques
Les involutions d'une droite projective réelle
Orientation de la droite projective réelle
d) Intersection de deux faisceaux de droites en homographie dans un même plan affine 190
Fonctions polynômes sur un plan
affine
Intersection de faisceaux en homographie
Réciproques et théorème de Pascal
Classification des coniques non décomposées dans un plan
affine
e) Théorèmes structurels 198
8) Introduction au plan hyperbolique et à ses modèles
Introduction 201
a) Quelques propriétés intuitives inévitables du plan hyperbolique 202
La géométrie des puzzles
Ce qu'on réclame d'un plan hyperbolique
L'angle de parallélisme et la formule liant l'aire et les angles
d'un triangle
Les points à l'infini dans le plan hyperbolique
La droite à l'infini d'un plan hyperbolique
Le modèle de Beltrami
b) Droites euclidiennes, elliptiques et hyperboliques 213
La droite euclidienne réelle
abstraite
La droite euclidienne abstraite sur un corps euclidien R
Le cercle euclidien abstrait sur un corps euclidien R
La droite hyperbolique abstraite sur un corps euclidien R
Les droites hyperboliques réelles ressemblent beaucoup à
des droites euclidiennes réelles
Récapitulation, et vocabulaire
9) Le plan hyperbolique via le modèle de Beltrami
Introduction 229
a) Le modèle de Beltrami : déplacements et antidéplacements du plan hyperbolique 230
Principales définitions, étude
des symétries
Deux théorèmes fondamentaux pour le groupe des placements
Le groupe des placements qui fixent un point
Déplacements et antidéplacements du plan hyperbolique
qui fixent une droite
Classification des antidéplacements
Le groupe des placements qui fixent un point à l'infini
Classification des déplacements
Tableau récapitulatif des placements et de leurs invariants
Questions d'angles
b) Structure projective du plan hyperbolique 260
Birapport de quatre points alignés
ou de quatre droites concourantes dans un plan hyperbolique
Placements et birapports
Les droites du plan hyperbolique comme droites hyperboliques
Coniques du plan hyperbolique
Les cercles du plan hyperbolique comme coniques et comme cercles euclidiens
Les horocycles comme coniques et comme vraies droites euclidiennes du
plan hyperbolique
Faisceaux de droites et cycles
Les équidistantes du plan hyperbolique comme coniques et comme
droites hyperboliques (abstraites)
c) Le plan hyperbolique comme espace géométrique 277
Équidistance et relation de plus
grande proximité
La distance dans un plan hyperbolique réel
d) Théorèmes structurels 282