Résumé :
Nous rappelons des versions constructives de la théorie de la dimension de Krull dans les anneaux commutatifs et dans les treillis distributifs, dont les bases ont été posées par Joyal, Español et les deux auteurs. Nous montrons sur les exemples de la dimension des algèbres de présentation finie, du Going Up, du Going Down, ... que cela nous permet de donner une version constructive de théorèmes classiques importants, et par conséquent de récupérer un contenu calculatoire explicite lorsque ces théorèmes abstraits sont utilisés pour démontrer l’existence d’objets concrets. Nous pensons ainsi mettre en oeuvre une réalisation partielle du programme de Hilbert pour l’algèbre abstraite classique.
Le rapport technique de 2001, disponible sur ArXiv 1712.04728v1, était une version préliminaire de l’article publié Hidden constructions in abstract algebra : Krull dimension of distributive lattices and commutative rings (Coquand, Lombardi, 2003).
L’article publié a de larges parties communes avec le rapport technique de 2001, mais chacun des deux contient des thèmes non traités dans l’autre.
Par rapport au texte de 2001, nous avons ici mieux organisé l’ensemble, corrigé quelques erreurs et fait le lien avec le livre [CACM] Commutative algebra : constructive methods (Lombardi, Quitté, 2015) quand cela nous a semblé utile.
La théorie constructive de la dimension de Krull via la notion de bord, telle qu’elle est exposée dans [CACM] est apparue en 2005 dans l’article An elementary characterization of Krull dimension (Coquand, Lombardi, Roy). Dans le rapport technique de 2001 comme dans la note présente on développe une approche antérieure basée sur des travaux de Joyal, Español, Lombardi et
Cederquist-Coquand.
Key words :
Dimension de Krull, Going Up, Going Down,
Mathématiques constructives.