Etude constructive de problèmes de topologie pour les réels irrationnels

Étude constructive de problèmes de topologie pour les réels irrationnels

Khalouani M., Labhalla S., Lombardi H.
Math. Logic Quarterly 45 2, (1999), 257-288.
Etude constructive de problèmes de topologie pour les réels irrationnels , fichier pdf

Résumé :

Nous étudions d'une manière constructive quelques problèmes de topologie liés à l'ensemble Irr des réels irrationnels. L'approche constructive nécessite une notion forte d'un nombre irrationnel; constructivement, un nombre réel est irrationnel s'il est clairement distinct de tout nombre rationnel.
Nous montrons que l'ensemble Irr est en bijection avec l'ensemble Dfc des développements en fraction continue (dfc) infinis.
Nous définissons deux extensions de Irr, l'une appelée Dfc₁ est l'ensemble des dfc de rationnels et d'irrationnels en gardant pour chaque rationnel un seul dfc, l'autre appelée Dfc₂ est l'ensemble des dfc de rationnels et d'irrationnels en gardant pour chaque rationnel ses deux dfc.
Nous introduisons six distances naturelles sur Irr que nous notons dfc₀, dfc₁, dfc₂, d, dmi et dcu.
Nous montrons que seules les quatre distances dfc₀, dfc₁, df et dmi parmi les six font de Irr un espace métrique complet. Ces dernières y définissent la même topologie au sens constructif.
Nous étudions ensuite l'ensemble Dfc₁ en montrant notamment que les irrationnels y forment une partie fermée.
Enfin, nous faisons une étude particulière du complété de Dfc pour les deux distances métriquement équivalentes dfc₂ et dcu.

Mots clés : analyse constructive, nombres réels irrationnels, fractions continues, espaces métriques complets, équivalence métrique, homéomorphisme, principes d'omniscience.

A constructive study of topological problems for irrational numbers

Abstract :

We study in a constructive manner some problems of topology related to the set Irr of irrational reals.
The constructive approach requires a strong notion of an irrational number; constructively, a real number is irrational if it is clearly different from any rational number.
We show that the set Irr is one-to-one with the set Dfc of infinite developments in continued fraction (dfc). We define two extensions of Irr, one, called Dfc₁, is the set of dfc of rationals and irrationals preserving for each rational one dfc, the other, called Dfc₂, is the set of dfc of rationals and irrationals preserving for each rational its two dfc.
We introduce six natural distances over Irr wich we denote by dfc₀, dfc₁, dfc₂, df, dmi and dcu. We show that only the four distances dfc₀, dfc₁, df and dmi among the six make Irr a complete metric space. The last distances define in Irr the same topology in a constructive sens.
We study further the set Dfc₁ in which, we show notably that the irrationals constitue a closed subset.
Finally, we make a particular study of the completion of Dfc for the two equivalent metrics dfc₂ and dcu. }

Key words: constructive analysis, irrational real numbers, continued fractions, complete metric spaces, metric equivalence, homeomorphism, principles of omniscience.