Dynamical method in algebra: Effective Nullstellensätze

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avec Coste M., Roy M.-F. Annals of Pure and Applied Logic 111, (2001) 203-256.

Résumé : Nous donnons une méthode générale pour produire des Null et Positiv stellensatz effectifs. Nous obtenons de nouveaux Positivstellensatz pour les corps valués algébriquement clos et pour les groupes totalement ordonnés divisibles. Ces -stellensatz sont des identités algébriques qui certifient que certaines conditions géométriques ne peuvent pas être simultanément satisfaites. Nous produisons aussi des versions constructives pour certains résultats d'algèbre classique basés sur le lemme de Zorn, dans plusieurs cas où de telles versions constructives étaient inconnues. Par exemple le fait qu'un corps réel peut être totalement ordonné, ou le fait qu'un corps possède une cloture algébrique. Nos résultats sont basés sur des concepts que nous introduisons et développons: celui de preuve dynamique et celui de collapsus simultané.

Abstract : We give a general method for producing various effective Null and Positivstellensätze, and getting new Positivstellensätze in algebraically closed valued fields and ordered groups. These various effective Nullstellensätze produce algebraic identities certifying that some geometric conditions cannot be simultaneously satisfied. We produce also constructive versions of abstract classical results of algebra based on Zorn's lemma in several cases where such constructive version did not exist. For example, the fact that a real field can be totally ordered, or the fact that a field can be embedded in an algebraically closed field. Our results are based on the concepts we develop of dynamical proofs and simultaneous collapse.