Résumé :
Nous étudions par des méthodes élémentaires et constructives les modules
plats et les anneaux de Prüfer. Nous adoptons la définition suivante
lorsque l'on autorise des diviseurs de zéros: un anneau de Prüfer est un anneau pour
lequel tout idéal de type fini est plat.
Dans les preuves classiques on utilise la localisation en n'importe quel
idéal maximal, et on obtient un anneau de valuation.
La preuve classique implique un
nombre fini de calculs explicites sous l'hypothèse suivante: tout
élément est dans l'idéal maximal ou est inversible. La relecture constructive
consiste en la considération de localisations pour lesquelles tout
élément pertinent dans le calcul est dans le radical (de l'anneau
localisé) ou inversible (dans l'anneau localisé). Ainsi, au lieu
d'utiliser des localisations en tous les idéaux maximaux, nous utilisons
des localisations bien controlées, en des parties multiplicatives S_i
que l'on peut décrire en termes finis, et telles que les ouverts
U_{S_i} correspondants recouvrent le spectre de Zariski.
Abstract :
We study by elementary and \cov methods the basic theory of Prüfer rings.
We adopt the following definition in the case where zero divisors are
allowed: a Prüfer ring is a ring for which any finitely generated ideal is
flat.
In classical proofs, we deal with localizations at each maximal ideal,
getting valuation rings. In order to get constructive proofs we use a close
inspection of the classical proof for the case of valuation rings.
We see that the proof involves some finite computations
under the hypothesis: any element is in the maximal ideal or is invertible.
The constructive rereading consists in considering localizations for which any
relevant element is in the radical (of the localized ring) or is invertible
(in the localized ring). Instead of localizations at maximal ideals we use
well controlled localizations, at multiplicatively closed subsets S_i that
are described in finite terms, the corresponding U_{S_i} being an open
covering of the Zariski spectrum.
We think that we are showing in practice that many classical proofs are
in fact constructive.