Sous-résultants, suite de Sturm et spécialisation

Henri Lombardi
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Deuxière partie de ma thèse, réimprimée (avec de très légères améliorations) aux Publications Mathématiques de Besançon. 1990

Résumé :

Nous donnons une légère généralisation de la notion de polynôme sous-résultant (ou sous-pgcd) de 2 polynômes de A[X] où A est un anneau intègre. Ceci permet de simplifier les démonstrations concernant les sous-pgcd, de préciser les algorithmes pour les calculer, et de traiter de manière agréable les problèmes de spécialisation (c.-à-d. lorsqu'on transforme les coefficients par un homomorphisme d'anneaux), même lorsqu'il y a chute du degré (d'un ou même parfois des deux polynômes), en particulier dans le cas de la suite de Sturm et de ses généralisations.
Nous explicitons les relations entre suite des restes et suite des sous-pgcd, et discutons la question de la calculabilité en temps polynomial de la suite des restes.
Nous démontrons que la version formelle de la suite de Sturm, que nous appelons suite de Sturm-Habicht, fonctionne aussi bien que la suite de Sturm pour le comptage des racines réelles sur un intervalle, à condition d'introduire une règle particulière pour évaluer le nombre de changements de signes de la suite de Sturm- Habicht lorsqu'on est en un zéro d'un polynôme sous-résultant défectueux.
Nous étudions la calculabilité en temps polynomial d'une relation de Bezout complète entre plusieurs polynômes, qui est un cas particulier de la réduction de Smith d'une matrice.