Résumé :
D'une part, nous développons la théorie
générale des
inverses généralisés
de matrices sous une forme que nous espérons
particulièrement
simple, en la mettant en rapport avec la théorie constructive des
modules projectifs de type fini. Ceci sur un anneau commutatif arbitraire.
D'autre part nous précisons certains aspects de cette
théorie liées au calcul formel et à
l'analyse numérique
matricielle.
Nous démontrons en particulier qu'on peut tester si un
A-module de présentation finie
est projectif et calculer une matrice de projection
correspondante en temps polynomial.
Plus précisément pour une
matrice M de format (m,n) on peut décider
s'il existe un inverse généralisé N pour M
(i.e. une matrice N
vérifiant MNM=M et NMN=N) et, en cas de réponse positive,
calculer un tel inverse généralisé
par un algorithme qui utilise
O(p^6q^2) opérations arithmétiques
(avec p=inf(m,n), q=sup(m,n))
et un nombre polynomial de tests d'appartenance d'un élément
à un idéal engendré
par un "petit nombre d'éléments".
Abstract :
We give a simple and general
presentation of the theory of generalized inverses of matrices. We stress
on the links with the theory of finitely generated projective modules.
This works over an arbitray commutative ring.
We precise also some links with Computer Algebra and Numerical Linear
Algebra.
E.g., we give polynomial bounds for the number of arithmetic
operations needed to test if a generalized inverse does exist, and to
compute it in case of positive answer.