Modules projectifs de type fini, applications linéaires croisées et inverses généralisés

Preprint 2004. fichier pdf,
Journal of Algebra 303 2, (2005), 450-475.
avec Gema Díaz-Toca, Laureano González-Vega, et Claude Quitté

Résumé : D'une part, nous développons la théorie générale des inverses généralisés de matrices sous une forme que nous espérons particulièrement simple, en la mettant en rapport avec la théorie constructive des modules projectifs de type fini. Ceci sur un anneau commutatif arbitraire.
D'autre part nous précisons certains aspects de cette théorie liées au calcul formel et à l'analyse numérique matricielle.
Nous démontrons en particulier qu'on peut tester si un A-module de présentation finie est projectif et calculer une matrice de projection correspondante en temps polynomial.
Plus précisément pour une matrice M de format (m,n) on peut décider s'il existe un inverse généralisé N pour M (i.e. une matrice N vérifiant MNM=M et NMN=N) et, en cas de réponse positive, calculer un tel inverse généralisé par un algorithme qui utilise O(p^6q^2) opérations arithmétiques (avec p=inf(m,n), q=sup(m,n)) et un nombre polynomial de tests d'appartenance d'un élément à un idéal engendré par un "petit nombre d'éléments".

Projective modules, crossed linear maps and generalized inverses.

Abstract : We give a simple and general presentation of the theory of generalized inverses of matrices. We stress on the links with the theory of finitely generated projective modules. This works over an arbitray commutative ring.
We precise also some links with Computer Algebra and Numerical Linear Algebra.
E.g., we give polynomial bounds for the number of arithmetic operations needed to test if a generalized inverse does exist, and to compute it in case of positive answer.